RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Una relación es un conjunto de pares ordenados, en particular la relación cuyos pares ordenados no repiten nunca el primer elemento se denomina función. Se dice que la función f aplica el primer elemento x del par ordenado en el segundo, así podemos escribir el par ordenado como (x, f(x)), en donde al elemento f(x) se le llama imagen de x, y a éste preimagen de f(x).  Por la definición, se está seguro que no existen dos pares ordenados que tengan la misma preimagen.

Al conjunto de todas las preimagenes se le denomina dominio de la función (D_f) y al conjunto del cual se toman las imágenes se le denomina contradominio de la función (C_f), el rango de la función es el conjunto exacto de imágenes (R_f).  Se observa por definición que .  A la forma en que se selecciona cada imagen para su respectiva preimagen se le llama regla de correspondencia y se representa por la misma f.

Así cada función f es única y se identifica por sus componentes:

1.     El dominio.

2.     El contradominio (y su rango).

3.     Su regla de correspondencia.

Por ejemplo sea g= {(1,2), (2,4),(5,2),(2,3)}, luego g es una relación pero no es una función.

Ahora sea h={(1,2),(2,4),(5,2),(3,3)}, h es una función con D_h={1,2,3,5}, C_f=R_f={2,3,4}, obsérvese que se pudo considerar C_f =N –los naturales-, la regla de correspondencia está determinada por el propio conjunto.

Dependiendo de las características de la función, ésta se puede expresar de manera “comprensiva” –cuando se listan todos los elementos se dice que está en forma “extensiva”–; supóngase r={(1,2),(2,4),(3,6),(5,10)}, en este caso se puede observar que las imágenes corresponden con el doble de su preimagen, por lo que se podría tener r={(x,r(x))|r(x)=2x, xε{1,2,3,5}}. Cómo ya se sabe que la función son pares ordenados y que el segundo elemento es la imagen, la notación previa se puede resumir con r= {(x,r(x)) |r(x)=2x, xε {1, 2, 3,5}}ya que ahí está toda la información específica de la función.

En efecto r es la regla de correspondencia, D_f= {1, 2, 3,5} y C_f se concluye que es N por la naturaleza de los elementos que se incluyen en el dominio y las operaciones involucradas, si se desea recobrar R_f se aplica cada preimagen y se obtiene {2, 4, 6,10}.

Las funciones que ahora nos interesan son aquellas que tienen su dominio y contradominio en los números reales, por tal motivo se dice que son funciones reales de variable real (de R en R) y de aquí en adelante se da por entendido que las funciones a las que nos referimos son funciones de R en R.

Cuando una función se expresa únicamente mediante su regla de correspondencia, se aplica un principio general que llamamos “regla del máximo dominio”  y ésta supone, que la regla de correspondencia se aplica sobre todos los elementos reales para los que sea posible. Cuando no se desea que se aplique la regla de máximo dominio, D_f deberá explicitarse.  Así por ejemplo f(x)=x², es diferente de “g(x)=x², 2<x<10”; ya que f aplica la regla de máximo dominio y D_f =R, mientras g tiene un dominio explícito D_g=(2,10). De manera común si no se indica D_f, se da por hecho que se aplica el máximo dominio, sin más aclaraciones.

Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos  dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3}                 Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }
g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},       Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}  y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

 Ejemplo 5 la función f(x) = 3x² – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función   tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que  x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.