APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

FUNCION INVERSA

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹ que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f⁻¹ es el recorrido de f.

El recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f ⁻¹) (x) = (f ⁻¹ o f) (x) = x

Las gráficas de f y f ^-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f⁻¹(x), y la inversa de una función, .

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

EJEMPLO 2

La función f definida por y=2x-3, es decir, f = { (x, y) / y=2x-3 } = { (x, 2x-3) } tiene inversa y su inversa será f-1 = { (y, x) / y=2x-3 } = { (x, y) / x=2y-3 } = { (2x-3, x) }
La función g definida por y=x2-2x-2, es decir, g = { (x, y) / y=x2-2x-2 } = { (x, x2-2x-2) } no tiene inversa. Por ejemplo, los pares (0, -2) y (2, -2) pertenecen a g y por lo tanto, g no es inyectiva.
Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

 

· Se intercambian ambas variables:

 

las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

incluido el cero.

 

 

 

La función inversa de  es y = x².

 

 

ƒ Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

 

Resolución:

· Se despeja x : x = -y + 4.

 

· Se intercambian ambas variables:

y = -x + 4.

 

La función dada coincide con su inversa.

FUNCION DE VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

Ejemplo:

Representamos la función resultante.

D=

 

D=

 

 

Saber más sobre funciones valor absoluto lineales

 

FUNCION DE IDENTIDAD

Se denomina función identidad, porque a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas (1,1), (2,2), (3.5, 3.5).

La función identidad es del tipo:

F(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

 

FUNCION CONSTANTE

La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente ( x ), la variable dependiente  ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante

Sea  . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contradominio es únicamente el real   c

Una función constante  f(x) = c :

• tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,
• tiene como gráfica una línea horizontal,
• nunca cruza el eje x, excepto cuando  f(x) = 0,
• cruza una sola vez el eje y  en el punto  (0, c),
• es aquella en que el exponente máximo de la x es cero,

Nota.   Dado que    ,  entonces  . 

Ejemplo 1.

La función  f(x) = 4  es una función constante  porque  independientemente del valor de  x   el valor de la función siempre es  4. Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma  ( x,  f(x))   frecuentemente en una tabla.

Ejemplo 2.

La función   f(x)=3   se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:

 

x f(x) -1 3 0 3 1 3 3 1.5 3 3

 

Ejemplo 3.

Sea la función  f(x)=-2,  encontrar su representación tabular y gráfica.

x f(x) -3 -2 -1.75 -2 -1 -2 0 -2 1 -2 2.99 -2