domingo, 21 de abril de 2013

UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO

.
Funciones polinomiales de grados 3 y 4
Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.
Definición
1
Función polinomial de tercer grado
La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:
y
= a3x3 + a2x2 + a1x + a0
donde a
3 6= 0.
La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.
Ejemplo 1
La función polinomial de tercer grado más sencilla es:
y
= x3
Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces.

Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.

En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos
por sí mismo tres veces obtengamos cero.

El único número que satisface la condición anterior es x = 0.

Esta es la única raíz de la función.

Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el
conjunto de los números reales. (pag.
??)

El contradominio se calcula de la sigiuente manera:
3
Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.
3
Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x
crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

La gráfica de la función está enseguida:
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1/11
x
􀀀
3 􀀀2 􀀀1 0 1 2
y
􀀀
8
􀀀
7
􀀀
6
􀀀
5
􀀀
4
􀀀
3
􀀀
2
􀀀
1
1
y
= x3
Observa que la función
f (x) = x3 puede factorizarse como y = x  x  x.
Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «
¿Qué número multiplicado
por sí mismo tres veces es igual a cero?
» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por sí
mismo nos da cero
», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.
Ejemplo 2
Grafica la siguiente función polinomial:
y
= x3 􀀀 x
Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.

Empezamos calculando sus raíces.

Para eso factorizamos la expresión: Profesor:
Sugiera el repaso
de la factorización
extra-clase en caso
de ser necesario.
y
= x  (x2 􀀀 1) = x  (x + 1)  (x 􀀀 1)

De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.

Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea
cero.

Tenemos tres casos: x = 􀀀1, x = 0, y x = 1.

Entonces, la función corta al eje x en x = 􀀀1, x = 0 y x = 1.

De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.

Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece.

Esto ocurre para valores positivos como negativos.
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2/11

La gráfica de esta función es la siguiente:
x
􀀀
3 􀀀2 􀀀1 0 1 2 3
y
􀀀
6
􀀀
5
􀀀
4
􀀀
3
􀀀
2
􀀀
1
1
2
3
4
5
6
y
= x3 􀀀 x
Ahora observa que la función evaluada en
x = 􀀀1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f (x) = 0, y
que la factorización queda:
y
= x3 􀀀 x = x  (x + 1)  (x + 1)
Es decir, si
r es una raíz de la función polinomial y = f (x) de grado n, entonces podemos
factorizarla como:
y
= f (x) = (x 􀀀 r)  g(x)
Donde
g(x) es otra función polinomial de grado n 􀀀 1.
Teorema 1
Sea
y = Pn(x) una función polinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función
polinomial puede dividirse exactamente entre
x 􀀀 r.
Si la función se divide exactamente entre
x 􀀀 r entonces se puede factorizar como:
y
= Pn(x) = (x 􀀀 r)  Qn􀀀1(x)
donde
Qn􀀀1(x) es otro polinomio de grado n 􀀀 1. Entonces,
P
n(r) = (r 􀀀 r)  Qn(r) = 0  Qn(r) = 0
Esto nos indica que
r es una raíz de la función.
Esta demostración está incompleta. Pero después de entender el procedimiento de la división
sintética y que éste es equivalente a la evaluación de un polinomio en un punto, quedará evidente
la segunda parte de la demostración.
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3/11

Teorema 2
Cualquier función polinomial de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz
real.
Ejemplo 1
Sabiendo que
x = 4 es una raíz de la función polinomial de tercer grado:
y
= x3 􀀀 15 x2 + 68 x 􀀀 96
calcula sus demás raíces y grafícala.

En este caso x = 4 es una raíz, así que podemos usar la división sintética:
1
􀀀15 68 􀀀96 4
4
􀀀44 96
1
􀀀11 24 0

Así que:
y
= x3 􀀀 15 x2 + 68 x 􀀀 96 = (x 􀀀 4)(x2 􀀀 11 x + 24)

Ahora factorizamos el último factor:
x
2 􀀀 11 x + 24 = (x 􀀀 3)(x 􀀀 8)

Y finalmente, podemos reescribir la función como:
y
= x3 􀀀 15 x2 + 68 x 􀀀 96 = (x 􀀀 4)(x 􀀀 3)(x 􀀀 8)

De aquí vemos que las raíces de la función son: 4, 3 y 8.

Ahora solamente falta graficarla.

La siguiente gráfica se ha cortado a propósito por cuestiones de espacio.

Tú ya sabes que toda función polinomial es contínua y que su dominio es el conjunto de los
números reales.
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8/11
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
􀀀
5
􀀀
4
􀀀
3
􀀀
2
􀀀
1
1
2
3
4
5
y
= x3 􀀀 15 x2 + 68 x 􀀀 96
Observa que el último teorema mencionado se refiere solamente a las funciones polinomiales de
grado impar.
En el caso de las funciones de grado par, no necesariamente ocurre que tendrán al menos una raíz
real, porque la traslación vertical puede hacer que la función no corte al eje. Para esto, basta con
trasladar la gráfica de la función lo suficiente para que el mínimo o máximo de la función quede
por arriba o debajo (según sea el caso) del eje
x.
Ejemplo 2
Grafica la función polinomial:
y
= x4 + 1

La gráfica de esta función es muy sencilla.

Cuando x = 0, y = 1.

Además, dado que el grado de la función polinomial es par, la función siempre es positiva
(en este caso).

También, el mínimo de esta función está en x = 0.
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9/11
􀀀
5 􀀀4 􀀀3 􀀀2 􀀀1 0 1 2 3 4 5
y
1
2
3
4
5
y
= x4 + 1
Puede mostrarse
que las raíces son:

1
p
2

i
p
2

Observa que esta función no tiene raíces reales, porque al igualar a cero el polinomio que
define a la función obtenemos:
x
4 + 1 = 0 ) x =  4 p
􀀀
1 = 
q
p
􀀀
1 = 
p
i
donde
i es la unidad imaginaria.
El ejemplo anterior sirve como un contraejemplo del último teorema aplicado a las funciones
polinomiales de grado par.
En conclusión, ese teorema solamente se cumple para funciones polinomiales de grado impar.