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Funciones polinomiales de grados 3 y 4
Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.
Definición
1
Función polinomial de tercer grado
La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:
y
= a3x3 + a2x2 + a1x + a0
donde a
3 6= 0.
La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.
Ejemplo 1
La función polinomial de tercer grado más sencilla es:
y
= x3
Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.
por sí mismo tres veces obtengamos cero.
conjunto de los números reales. (pag.
??)
3
Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.
3
Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.
crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.
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1/11
x
3 2 1 0 1 2
y
8
7
6
5
4
3
2
1
1
y
= x3
Observa que la función
f (x) = x3 puede factorizarse como y = x x x.
Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «
¿Qué número multiplicado
por sí mismo tres veces es igual a cero?
» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por sí
mismo nos da cero
», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.
Ejemplo 2
Grafica la siguiente función polinomial:
y
= x3 x
Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.
Sugiera el repaso
de la factorización
extra-clase en caso
de ser necesario.
y
= x (x2 1) = x (x + 1) (x 1)
cero.
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2/11
x
3 2 1 0 1 2 3
y
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
y
= x3 x
Ahora observa que la función evaluada en
x = 1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f (x) = 0, y
que la factorización queda:
y
= x3 x = x (x + 1) (x + 1)
Es decir, si
r es una raíz de la función polinomial y = f (x) de grado n, entonces podemos
factorizarla como:
y
= f (x) = (x r) g(x)
Donde
g(x) es otra función polinomial de grado n 1.
Teorema 1
Sea
y = Pn(x) una función polinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función
polinomial puede dividirse exactamente entre
x r.
Si la función se divide exactamente entre
x r entonces se puede factorizar como:
y
= Pn(x) = (x r) Qn1(x)
donde
Qn1(x) es otro polinomio de grado n 1. Entonces,
P
n(r) = (r r) Qn(r) = 0 Qn(r) = 0
Esto nos indica que
r es una raíz de la función.
Esta demostración está incompleta. Pero después de entender el procedimiento de la división
sintética y que éste es equivalente a la evaluación de un polinomio en un punto, quedará evidente
la segunda parte de la demostración.
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3/11
Teorema 2
Cualquier función polinomial de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz
real.
Ejemplo 1
Sabiendo que
x = 4 es una raíz de la función polinomial de tercer grado:
y
= x3 15 x2 + 68 x 96
calcula sus demás raíces y grafícala.
1
15 68 96 4
4
44 96
1
11 24 0
y
= x3 15 x2 + 68 x 96 = (x 4)(x2 11 x + 24)
x
2 11 x + 24 = (x 3)(x 8)
y
= x3 15 x2 + 68 x 96 = (x 4)(x 3)(x 8)
números reales.
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8/11
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
y
= x3 15 x2 + 68 x 96
Observa que el último teorema mencionado se refiere solamente a las funciones polinomiales de
grado impar.
En el caso de las funciones de grado par, no necesariamente ocurre que tendrán al menos una raíz
real, porque la traslación vertical puede hacer que la función no corte al eje. Para esto, basta con
trasladar la gráfica de la función lo suficiente para que el mínimo o máximo de la función quede
por arriba o debajo (según sea el caso) del eje
x.
Ejemplo 2
Grafica la función polinomial:
y
= x4 + 1
(en este caso).
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9/11
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y
1
2
3
4
5
y
= x4 + 1
Puede mostrarse
que las raíces son:
1
p
2
i
p
2
define a la función obtenemos:
x
4 + 1 = 0 ) x = 4 p
1 =
q
p
1 =
p
i
donde
i es la unidad imaginaria.
El ejemplo anterior sirve como un contraejemplo del último teorema aplicado a las funciones
polinomiales de grado par.
En conclusión, ese teorema solamente se cumple para funciones polinomiales de grado impar.