Es una función cuya representación gráfica se repite a intervalos regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en nuestro mundo. el día, la noche, las olas del mar, los látidos del corazón, el movimiento de la cuerda en una guitarra, todos ellos son ejemplos de fenómenos periódicos. Su estudio matemático se hizo posible gracias al uso de las funciones seno y coseno. Empecemos a tratar de responder la pregunta:
¿Qué
es una función periódica?
Si ahora
son las 16 hs, en punto, ¿ que hora será dentro de 24 hs ? ¿Y
que hora será dentro de 48 hs? ¿Y que hora será
dentro de cualquier múltiplo de 24 hs? El ciclo en
este caso es de 24 horas. En estos ejemplos supondremos que la hora
la contamos de 0 a 24 hs y no de 0 a 12 hs.
La función
"que hora es" es una función periódica, cuyo
período es de 24 hs. ¿Cómo será la representación
gráfica de la función "que hora es" ? Vamos
a investigar.
Trata
de hacer la gráfica tomando un intervalo de tiempo de 60 horas. En
el eje de las abscisas ubicamos el tiempo, y en las ordenadas, h(t) , que
es la función del tiempo "que hora es (t)". La podemos abreviar
llamándola h(t). Podemos tomar el tiempo inicial como una hora cualquiera,
por ejemplo las 10:00.
h(0) =
10 Es la hora inicial.
Dentro
de una hora serán las 11 hs. En lenguaje matemático,
h( 1) = 11.
Dentro
de 8 horas serán las 18 hs. En lenguaje matemático,
h(8) = 18
Dentro
de 24 hs serán de nuevo las 10 hs:
h(24) = 10
Dentro
de 2 días, o sea, 48 horas, serán otra vez las 10hs.
h(48) = 10
Esta
función es periódica porque en t=0, 24, 48, ...... tiene "el
mismo valor".
Recordemos
que la función h(x) es periódica porque en t=0, 24, 48, ......
tiene el mismo valor.
Entonces
h
es periódica, porque existe un número real
p=48 tal que verifica que h(t)=h(t+48)
para cualquier número t.
h(7)=h(7+48)=h(55)
Esto está diciendo que "la hora" dentro de 7 horas será
la misma que dentro de 55 horas.
Pero
ya habrás notado que 48 no es el menor número que tiene esa
propiedad. Hablando de horas, el menor número que tiene esa propiedad
es el 24. Recuerda que estamos hablando de la hora en formato de 0-24 y no
de 0-12.
Definición:
Una función f es periódica,
si existe un número real p
tal que verifica
. Llamaremos período al mínimo p.
p
tiene que ser el mínimo, porque si no
lo definimos asi, si f es periódica de período p, entonces f
tambien sería periódica de período 2p, 3p, 4p, .....y
tendríamos infinitas definiciones de período.
Propiedad:
La representación gráfica de las funciones periódicas
es una curva que se repite en cada tramo de longitud p.
Las funciones
seno, coseno y tangente , cuyas imágenes anotaremos sen(x), cos(x)
y tg(x) , son ejemplos de funciones periódicas.
Pero mucho
cuidado, que no todas las funciones periódicas tienen que ser sinusoidales.
Ya vimos ejemplos, como el de "la hora", que hay muchísimas
funciones periódicas, en realidad, infinitas, que no tienen nada de
seno ni de coseno.
Pero aunque
no todas las funciones periódicas tienen algo de seno
o de coseno, lo cierto es que las
funciones seno y coseno son unas de
las mas importantes en lo que respecta a funciones periódicas.
La función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
Gráfica de la función seno.
La función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
Gráfica de la función coseno.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:- Las funciones seno, coseno son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p .
- Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas.
- Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1].
- La funcion seno es simétrica respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; . En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Funciones circulares recíprocas
Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:- La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
- La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
Función seno tiene la siguiente forma:
y = A sin[ω(x - α)] + C
- A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
- C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
- P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
- ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω. - α es el desplazamiento de faso.
- Función coseno tiene la siguiente forma:
y = A cos[ω(x - α)] + C- A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
- C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
- P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
- ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω. - α es el desplazamiento de faso.
Ejemplos
Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva de seno "general" (desplazada y escalada):
Contesta Consultando la función seno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
- y = A sin[ω(x-α)] + C,
- La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
- A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
- C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
- P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
- ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
- α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.
- y = 2 sin[π/2 (x- 1)] - 2
- Ejemplos
Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curva de seno "general" (desplazada y escalada) que más arriba:
- La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
- A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
- C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
- P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
- ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
- α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto para coseno: la distancia horizontal del eje y al primero máximo.
- El 4 indica que tenemos que multiplicar por 4 el valor máximo y el valor mínimo de
- El indica que cuando entonces
- El 3 está relacionado con el periodo y con la frecuencia con que corta al eje. Me indica que corta al eje 3 veces “más rápido” que . (Veáse más abajo periodicidad)
- Por lo anterior, cuando . ( eran las raíces de ).
- En azul:
- En rojo:
Contesta Consultando la función coseno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
- y = A cos[ω(x-α)] + C,
- y = 2 cos[π/2 (x- 2)] - 2
Función senocuando , en donde en un número entero (tanto positivo como negativo).Ejemplo 4.1: GraficarPor todo el gráfico seráLas funciones trigonométricas son periódicas, es decir que cumplen conEn donde es el periodo. El seno, coseno y sus inversas tienen ; la tangente y la cotangente tienen .Ejemplo 5.1: ¿Cual es el periodo de la función ?Quiero tal que . Es decirY sabemos que el periodo del coseno es dePor lo queAsí que lo que quiero es queEn general, en una función de la forma el periodo es . (Lo mismo vale para el coseno, pues el coseno coincide con el seno si se lo desplaza ). es lo que se llama la frecuencia angular, que se define comoFunción seno
f(x) = sen x
Propiedades de la función seno
Período: Recorridorecorrido: [−1, 1]Mínimos: Máximos:Cortes con el eje OX:Función coseno
f(x) = cosen x
Propiedades de la función coseno
Período: Recorrido: [−1, 1]Mínimos:maximos:
Cortes con el eje OX:
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